Question

2．如图，已知F₁、F₂分别为椭圆 $\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，其离心率e=$\frac{1}{2}$．且a+c=3，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设A、B分别为椭圆的上下顶点，O为原点，过F₂作直线l与椭圆交于C、D两点，并与y轴交于点P（异于A、B、O点），直线AC与直线BD交于点Q．则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$是否为定值，若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，且a+c=3，又b²=a²-c²，联立解出即可．
（2）$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$为定值3．当直线l垂直于x轴时，直接验证．当直线l不垂直于x轴时，设直线CD：my=x-1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），P（0，-$\frac{1}{m}$），与椭圆方程联立可得：（3m²+4）y²+6m²y-9=0，由直线AC与BD的方程联立可得Q的纵坐标．再利用数量积运算及其根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）∵离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，且a+c=3，解得a=2，c=1．
又b²=a²-c²=3．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$为定值3．当直线l垂直于x轴时，不符合题意，舍去．
当直线l不垂直于x轴时，设直线CD：my=x-1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），P（0，-$\frac{1}{m}$）．
联立.$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为（3m²+4）y²+6m²y-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$．直
线AC的方程为：$y-\sqrt{3}=\frac{{y}_{1}-\sqrt{3}}{{x}_{1}}x$，直线BD的方程为：$y+\sqrt{3}=\frac{{y}_{2}+\sqrt{3}}{{x}_{2}}x$．
消去x可得$\frac{y-\sqrt{3}}{y+\sqrt{3}}$=$\frac{{x}_{2}（{y}_{1}-\sqrt{3}）}{{x}_{1}（{y}_{2}-\sqrt{3}）}$，
∴$（\frac{y-\sqrt{3}}{y+\sqrt{3}}）^{2}$=$\frac{{x}_{2}^{2}（{y}_{1}-\sqrt{3}）^{2}}{{x}_{1}^{2}（{y}_{2}-\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{（3-{y}_{2}^{2}）（{y}_{1}-\sqrt{3}）^{2}}{（3-{y}_{1}^{2}）（{y}_{2}-\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{（{y}_{1}-\sqrt{3}）（{y}_{2}-\sqrt{3}）}{（{y}_{1}+\sqrt{3}）（{y}_{2}+\sqrt{3}）}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-\sqrt{3}（{y}_{1}+{y}_{2}）+3}{{y}_{1}{y}_{2}+\sqrt{3}（{y}_{1}+{y}_{2}）+3}$=$\frac{\frac{-9}{3{m}^{2}+4}+\frac{6\sqrt{3}m}{3{m}^{2}+4}+3}{\frac{-9}{3{m}^{2}+4}-\frac{6\sqrt{3}m}{3{m}^{2}+4}+3}$=$（\frac{\sqrt{3}m+1}{\sqrt{3}m-1}）^{2}$，
∵$-\sqrt{3}＜{y}_{1}，{y}_{2}＜\sqrt{3}$，∴$\frac{y-\sqrt{3}}{y+\sqrt{3}}$与$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$异号，
${x}_{1}{x}_{2}={m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1$=${m}^{2}（-\frac{9}{3{m}^{2}+4}）$+m$（-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}）$+1=$\frac{4（1-\sqrt{3}m）（1+\sqrt{3}m）}{3{m}^{2}+4}$，
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$与$\frac{\sqrt{3}m+1}{\sqrt{3}m-1}$异号，
∴$\frac{y-\sqrt{3}}{y+\sqrt{3}}$与$\frac{\sqrt{3}m+1}{\sqrt{3}m-1}$同号，
∴$\frac{y-\sqrt{3}}{y+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}m+1}{\sqrt{3}m-1}$，解得y=-3m，
因此点Q（x_Q，-3m），
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0-3m×$（-\frac{1}{m}）$=3．
为定值3．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质、直线的交点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．