Question

3．如图，在四棱锥B-AA₁C₁C中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-C的余弦值； 
（Ⅲ）证明：在线段上BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求$\frac{BD}{B{C}_{1}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A₁-BC₁-C的余弦值； 
（Ⅲ）利用向量法结合直线垂直的等价条件即可．

解答 证明：（ I）因为AA₁C₁C为正方形，
所以AA₁⊥AC．
因为平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且AA₁垂直于这两个平面的交线AC，
所以AA₁⊥平面ABC．
（ II）由（ I）知AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．由题知AB=3，BC=5，AC=4，
所以AB⊥AC．
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，
则B（0，3，0），A₁（0，0，4），B₁（0，3，4），C₁（4，0，4），
设平面A₁BC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{3y-4z=0}\\{\;\;\;4x=0}\end{array}}\right.$，
令z=3，则x=0，y=4，所以$\overrightarrow{n}$=（0，4，3）．
同理可得，平面BCC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（3，4，0），
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{16}{25}$．
由题知二面角A₁-BC₁-C为钝角，所以二面角A₁-BC₁-C的余弦值为$-\frac{16}{25}$．
（ III）设D（x，y，z）是直线BC1上一点，且$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{B{C}_{1}}$．
所以（x，y-3，z）=λ（4，-3，4）．
解得x=4λ，y=3-3λ，z=4λ．
所以$\overrightarrow{AD}$=（4λ，3-3λ，4λ）．
由$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{{A}_{1}B}$=0，即9-25λ=0．
解得λ=$\frac{9}{25}$．
因为$\frac{9}{25}$∈[0，1]，所以在线段BC₁上存在点D，
使得AD⊥A₁B．此时，$\frac{BD}{B{C}_{1}}=λ$=$\frac{9}{25}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．