Question

18．若直线ax+by=4与不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域无公共点，则a+b的取值范围（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，3）
• B． （-3，3）
• C． （-3，$\frac{3}{2}$）
• D． （-1，3）

Answer 1

分析 由题意画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域，结合直线ax+by=4与不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域无公共点得到关于a，b的不等式组，然后利用线性规划知识求得a+b的取值范围．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得A（1，2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8=0}\\{x+2y+4=0}\end{array}\right.$，解得B（-4，0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x+2y+4=0}\end{array}\right.$，解得C（4，-4）．
要使直线ax+by=4与不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-5y+8≥0}\\{2x+y-4≤0}\\{x+2y+4≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域无公共点，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+2b-4＞0}\\{-4a-4＞0}\\{a-b-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+2b-4＜0}\\{-4a-4＜0}\\{a-b-1＜0}\end{array}\right.$．
（a，b）所在平面区域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{a-b-1=0}\end{array}\right.$，解得M（-1，-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{a-b-1=0}\\{a+2b-4=0}\end{array}\right.$，解得N（2，1），
令t=a+b，即b=-a+t，
∴当直线b=-a+t过M时，t有最小值为-3；当直线b=-a+t过N时t有最大值为3．
∴t=a+b的范围是（-3，3）．
故选：B．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．