Question

15．设函数f（x）=2+$\frac{2mx+sinx+mxcosx}{2+cosx}$，若f（x）在[-n，n]上的值域为[a，b]，其中a，b，m，n∈R，且n＞0，则a+b=4．

Answer 1

分析 由于f（x）=2+$\frac{2mx+sinx+mxcosx}{2+cosx}$=2+2x+$\frac{sinx}{2+cosx}$，构造函数g（x）=2x+$\frac{sinx}{2+cosx}$，根据奇函数的对称性即可求解．

解答 解：f（x）=2+$\frac{2mx+sinx+mxcosx}{2+cosx}$
=$\frac{4+2cosx+2mx+sinx+mxcosx}{2+cosx}$
=$\frac{（2+mx）（2+cosx）+sinx}{2+cosx}$，
=2+mx+$\frac{sinx}{2+cosx}$，
令g（x）=mx+$\frac{sinx}{2+cosx}$，
则g（-x）=-mx-$\frac{sinx}{2+cosx}$=-g（x），
∴g（x）在[-n，n]上的最大值与最小值之和为0，
∵f（x）=g（x）+2，
∴a+b=4．
故答案为：4

点评 本题主要考查了奇函数在对称区间上最值互为相反数即最值之和为0的性质的应用，其中构造函数g（x）是求解本题的关键