Question

5．设F是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=-c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．

解答 解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），
设PF的中点为M（0，b），
即有m=-c，n=2b，
将点（-c，2b）代入双曲线方程可得，
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{b}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=5，
解得e=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．