Question

4．设函数f（x）=x²-ax+b．
（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
（Ⅱ）记f₀（x）=x²-a₀x+b₀，求函数|f（sinx）-f₀（sinx）|在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a₀=b₀=0，求z=b-$\frac{{a}^{2}}{4}$满足条件D≤1时的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设t=sinx，f（t）=t²-at+b（-1＜t＜1），讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的存在；
（Ⅱ）结合不等式的性质求得最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）结合不等式的性质求得z=b-$\frac{{a}^{2}}{4}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设t=sinx，在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）递增，
即有f（t）=t²-at+b（-1＜t＜1），f′（t）=2t-a，
①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；
当a≤-2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．
即有a≥2或a≤-2时，不存在极值．
②当-2＜a＜2时，-1＜t＜$\frac{a}{2}$，f′（t）＜0，f（sinx）递减；
$\frac{a}{2}$＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）递增．
f（sinx）有极小值f（$\frac{a}{2}$）=b-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
（Ⅱ）-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，|f（sinx）-f₀（sinx）|=|（a-a₀）sinx+b-b₀|≤|a-a₀|+|b-b₀|
当（a-a₀）（b-b₀）≥0时，取x=$\frac{π}{2}$，等号成立；
当（a-a₀）（b-b₀）≤0时，取x=-$\frac{π}{2}$，等号成立．
由此可知，|f（sinx）-f₀（sinx）|在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值为D=|a-a₀|+|b-b₀|．
（Ⅲ）D≤1即为|a|+|b|≤1，此时0≤a²≤1，-1≤b≤1，从而z=b-$\frac{{a}^{2}}{4}$≤1
取a=0，b=1，则|a|+|b|≤1，并且z=b-$\frac{{a}^{2}}{4}$=1．
由此可知，z=b-$\frac{{a}^{2}}{4}$满足条件D≤1的最大值为1．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．