Question

底面ABCD为一个矩形，其中AB=6，AD=4．顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6

2

，EF=2，二面角F-BC-A的余弦值为

17

17

，设M，N是AD，BC的中点，
（I）证明：BC⊥平面EFNM；
（Ⅱ）求平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面平行的性质得出EF∥AB，MN∥AB，MN∥EF，E，F，N，M四点共面，由BC⊥MN，且

FN?平面EFMN MN?平面EFMN FN∩MN=N

得证．
（2）确定角为∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，在△SFQ中，tan∠SFQ=tan（π-∠FSQ-∠FQS）=-

tan∠FSQ+tan∠FQS

1-tan∠FSQ•tan∠FQS

=

8

15

，运用三角函数即可求解余弦值．

解答： 证明：（1）∴EF∥平面ABCD，且EF?平面EFAB，
又平面ABCD∩平面EFAB=AB，
∴EF∥AB
又M，N是平行四边形两边AD，BC的中点，
∴MN∥AB∴MN∥EF，
∴E，F，N，M四点共面，
∵FB=FC，∴BC⊥MN，
且

FN?平面EFMN MN?平面EFMN FN∩MN=N

∴BC⊥平面EFNM；
解：（2）在平面EFNM内F作MN的垂线，垂足为H，则由（1）可知：
BC⊥平面EFNM；平面ABCD⊥平面EFNM；
∴FH⊥平面EFNM；
∵FB⊥BC，HN⊥BC，
∴二面角F-BC-A的平面角为∠FNH，
Rt△FNB，Rt△FNH中FN=

FB2-BN2

=

68

，HN=FNcos∠FNH=

68

×

17

17

=2，
∴FH=8，过H作AB，CD的垂线，垂足为S，Q．连接FN，FS，FQ，
∴∠SFQ∴∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，
是二面角B-EF-C的平面角，

有图可知，AB⊥SQ，AB⊥FH，
∴AB⊥平面FSQ，由（1）知EF∥AB，∴EF⊥平面FSQ，
∴∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，
∴在△SFQ中，tan∠SFQ=tan（π-∠FSQ-∠FQS）=-

tan∠FSQ+tan∠FQS

1-tan∠FSQ•tan∠FQS

=

8

15

，
∴COS∠QFS=

15

17

，
平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值为

15

17

．

点评：本题考查了空间直线，平面的平行，垂直，夹角问题，转化到三角形求解，属于中档题．