Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，，，，，异面直线PA和CD所成角等于60°.

（1）求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小：

（2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角A-BE-D的余弦值为？若存在，指出点E在棱PA上的位置；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）棱上是存在一点，使得二面角的余弦值为，此时.

【解析】

（1）先证明，，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，再利用及异面直线和所成角等于求出的坐标，求出平面的法向量后可求线面角的正弦值.

（2）设，从而可用表示的坐标，进而可用表示平面的法向量，最后利用给定的二面角的余弦值得到关于的方程，解出即可得到所求的的位置.

（1）因为底面，底面，故，同理.

又因为，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，

.

设，，其中，

则，，，

因为，故，所以，

所以，.

因为异面直线和所成角等于，

故，解得或（舍），

所以，，.

设平面的法向量为，

由可得，取，则，故.

又，设直线与平面所成的角为，

则.

（2）设，，则，所以.

又，，

设平面的法向量为，

由可得，取，则，

故.

又平面的法向量为，而二面角的余弦值为，

所以，解得或（舍），

所以棱上是存在一点，使得二面角的余弦值为，

此时.