Question

【题目】在边长为4的正方形中，点E、F分别为边的中点，以和为折痕把和折起，使点B、D重合于点P位置，连结，得到如图所示的四棱锥.

（1）在线段上是否存在一点G，使与平面平行，若存在，求的值；若不存在，请说明理由

（2）求点A到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）存在；（2）

【解析】

（1）连结，记与的交点为O，连结.可通过计算判断，结合相似三角形知识可知，，由此可证；

（2）证法不唯一，可直接采用等体积法，可先求证平面平面，求出P到直线的距离h，设点A到平面的距离为，

则，通过计算可求解；另外两种证法相类似，详解见解析；

（1）线段上的点G满足时，与平面平行.

证明如下：

连结，记与的交点为O，连结.

在正方形中，

∵E、F分别为边的中点，

∴，

故，

∴

∵平面，平面，

∴平面.

（2）解法一：在正方形中，，

翻折后，

又∵，∴平面

记与的交点为O，连结，

可知为直角三角形，，

设P到直线的距离为h，∵，∴

∵，

∴平面

∵平面，

∴平面平面

∵平面平面

∴斜边上的高h即为三棱锥的高

∴，

，设点A到平面的距离为，

∴，

∴，解得.

解法二：在正方形中，，

翻折后，

又∵，∴平面，

记与的交点为O，连结，

可知为直角三角形，，

易得P到直线的距离为，

∴，

∵，

∴平面，

∴，

又，设点A到平面的距离为h，

∴，

∴，解得

解法三：在正方形中，，

翻折后，

又∵，∴平面.

记与的交点为O，连结，

可知为直角三角形，，

易得.

∵，

∴平面，

∴，

∴，

又，设点A到平面的距离为h，

∴，

∴，解得