Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中点.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）设是的中点，连接、，先证明是平行四边形，再证明平面，即

（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建空间直角坐标系，分别计算各个点坐标，计算平面法向量，利用向量的夹角公式得到直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：设是的中点，连接、，

是的中点，，，

，，， ，

是平行四边形，，

，，，

，，，

由余弦定理得，

，，

，平面，，

；

（2）由（1）得平面，，平面平面，

过点作，垂足为，平面，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，

则，，，

，

设是平面的一个法向量，则，，

令，则，，

，

直线与平面所成角的正弦值为.