Question

（2012•杨浦区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；
（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形，可求几何量，从而可求椭圆方程；
（2）确定点P、PM的中点坐标之间的关系，利用点P是椭圆C上一动点，即可求得线段PM的中点Q的轨迹方程；
（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程代入椭圆方程，利用韦达定理及k₁+k₂=8，可得直线AB的方程，从而可得直线AB过定点；若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，求出直线AB的方程，即可得到结论．

解答：解：（1）由已知可得 b=2，a2=(

2

b)2=8，…（2分）
∴所求椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．                              …（4分）
（2）设点P（x₁，y₁），PM的中点坐标为Q（x，y），则

x12

8

+

y12

4

=1                     …（6分）
由x=

0+x1

2

，y=

2+y1

2

得x₁=2x，y₁=2y-2代入上式得

x2

2

+(y-1)2=1      …（10分）
（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．
设A（x₃，y₃），B（x₂，y₂），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．      …（11分）
则x3+x2=-

4km

1+2k2

，x3x2=

2m2-8

1+2k2

．
∵k₁+k₂=8，∴

y3-2

x3

+

y2-2

x2

=8，
∴2k+（m-2）×

x1+x2

x1x2

=8．                                …（12分）
∴k-

mk

m+2

=4，整理得m=

1

2

k-2．
故直线AB的方程为y=kx+

1

2

k-2，即y=k（x+

1

2

）-2．
所以直线AB过定点（-

1

2

，-2）．                            …（14分）
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，
设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知

y0-2

x0

+

-y0-2

x0

=8，得x₀=-

1

2

．
此时AB方程为x=-

1

2

，显然过点（-

1

2

，-2）．                            
综上，直线AB过定点（-

1

2

，-2）．                            …（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，正确运用韦达定理是关键．