Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD，
（Ⅰ）求异面直接PD与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的大小；
（Ⅲ）设点M在棱PC上，且=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD。

Answer 1

解：∵PO⊥平面ABCD， ∴PO⊥BD， 又， 由平面几何知识得：， （Ⅰ）过D作DE∥BC交AB于E，连结PE， 则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴， ∴， 又AB∥DC， ∴四边形EBCD是平行四边形。 ∴， ∴E是AB的中点，且， 又， ∴△PEA为直角三角形， ∴， 在△PED中，由余弦定理得 ， 故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为。 （Ⅱ）连结OE，由（Ⅰ）及三垂线定理知， ∠PEO为二面角P-AB-C的平面角， ∴， ∴， ∴二面角P-AB-C的大小为45°。 （Ⅲ）连结MD，MB，MO， 平面平面BMD， ∵PC⊥OM， 又在Rt△POC中，， ∴， ∴， 故λ=2时，PC⊥平面BMD。