Question

15．已知四面体A-BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（　　）

• A． 60π
• B． 30π
• C． 20π
• D． 15π

Answer 1

分析 当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积．

解答 解：当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，
取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，
由题意知AF⊥DF，AF=CF=3$\sqrt{3}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，
连接OA，OC，有R²=AE²+OE²，R²=DF²+OF²，
∴R²=（$\frac{3\sqrt{6}}{2}$）²+OE²，R²=3²+（$\frac{3\sqrt{6}}{2}$-OE）²，
∴R=$\sqrt{15}$，
∴三棱锥的外接球的表面积为4πR²=60π．
故选A．

点评 本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．