Question

6．已知点P（0，-2），点A，B分别为椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{QB}$．
（1）求E的方程；
（2）设过点的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于MN以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量共线定理求得Q点坐标，由a=2，将Q代入椭圆方程，即可求得b，求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及△＞0，向量数量积的坐标运算$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$＞0，即可求得k的取值范围．

解答 解：（1）由题意题意△ABP是等腰直角三角形，a=2，B（2，0），
设Q（x₀，y₀），由$\overrightarrow{PQ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{QB}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{6}{5}}\\{{y}_{0}=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
代入椭圆方程，解得b²=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y=kx-2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²-16kx+12=0，
由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，
即（-16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，解得：k²＞$\frac{3}{4}$，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
由坐标原点O位于MN为直径的圆外，
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，
则x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）=（1+k²）x₁x₂-2k×（x₁+x₂）+4
=（1+k²）$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$-2k×$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$+4＞0，
解得：k²＜4，
综上可知：$\frac{3}{4}$＜k²＜4，解得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜k＜2或-2＜k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
直线l斜率的取值范围（-2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积坐标运算，考查计算能力，属于中档题．