Question

11．如图，一张A4纸的长、宽分别为2$\sqrt{2}$a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P₁，P₂，P₃，P₄四点重合为一点P，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是①②③④．（写出所有正确命题的序号）．
①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；
③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa²．

Answer 1

分析 利用图形翻折，结合勾股定理，确定该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，利用线面垂直，判定面面垂直，即可得出结论．

解答 解：长、宽分别为2$\sqrt{2}$a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，
使得P₁，P₂，P₃，P₄四点重合为一点P，从而得到一个多面体，则
①由于$（\sqrt{2}a）^{2}+（\sqrt{2}a）^{2}=4{a}^{2}$，∴该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，正确；
②∵AP⊥BP，AP⊥CP，∴AP⊥平面BCD，∵AP?平面BAD，∴平面BAD⊥平面BCD，正确；
③与②同理，可得平面BAC⊥平面ACD，正确；
④该多面体外接球的半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，表面积为5πa²，正确．
故答案为①②③④．

点评 本题考查棱锥的结构特征，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．