Question

已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点．

（1）求椭圆方程；

（2）直线过椭圆的右焦点且斜率为与椭圆交于两点，求弦的长；

（3）以第（2）题中的为边作一个等边三角形，求点的坐标．

Answer 1

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论；（3）涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；直线与圆锥曲线相交所得中的弦问题，就解析几何的内容之一，一般有以下三种类型：①求中点弦所在的直线方程；②求弦中点的轨迹方程问题；③弦长为定值时，弦中点的坐标问题，其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法.

试题解析：（1）由题意得 2分

又，

得，，解得或（舍去）， 2分

则， 1分

故椭圆方程为． 1分

（2）直线的方程为． 1分

联立方程组

消去并整理得． 3分

设，．

故，． 1分

则 2分

（3）设的中点为．

可得， 1分

． 1分

线段的中垂线斜率为， 所以

设 1分

所以． 1分

当△为正三角形时，，

可得， 解得或． 2分

即，或． 1分

考点：1、求椭圆的标准方程；2、直线与圆相交求弦长；3、直线与椭圆的综合问题.