Question

【题目】已知函数，

（1）讨论在上的单调性.

（2）当时，若在上的最大值为，讨论：函数在内的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；（2）个零点

【解析】

（1）求得，根据范围可知，进而通过对的正负的讨论得到函数单调性；

（2）由（1）可得函数在上的单调性，进而利用最大值构造方程求得，得到函数解析式；利用单调性和零点存在定理可确定在上有个零点；令，求导后，可确定在上存在零点，从而得到的单调性，通过单调性和零点存在定理可确定零点个数.

（1）

当时，

当，时，；当，时，

当时，在上单调递增；当时，在上单调递减

（2）由（1）知，当时，在上单调递增

，解得：

在上单调递增，，

在内有且仅有个零点

令，

当时，，，

在内单调递减

又，

，使得

当时，，即；当时，，即

在上单调递增，在上单调递减

在上无零点且

又

在上有且仅有个零点

综上所述：在上共有个零点