【题目】已知函数,其中
,
为自然对数的底数.
(1)若,求函数
在
处的切线方程;
(2)若函数在定义域上恰有两个不同的零点,求实数a的取值范围;
(3)设函数在区间
)上存在极值,求证:
.
【答案】(1)(2)
或
(3)证明见解析
【解析】
(1)利用导数求函数在
处的切线方程;(2)对
分
两种情况讨论,当
时,再分三种情况结合导数分类讨论;(3)先求出
,要使得
在
上存在极值,则须满足
即
分析推理即可得到
.
(1)当时,
,
,
,
,
所以函数在
处得切线方程为
.
(2)因为,
,
,
所以.
①若,则
,
在
上是单调增函数,
所以在
上至多一个零点,与题意不符合.
②若,令
,得
.
0 | |||
极小值 |
(ⅰ)若,即
时,
有且仅有一个零点
,与题意不符.
(ⅱ)若,即
时,
,
,
又,且
的图像在
上不间断,
所以存在,使得
.
此时,在
恰有两个不同得零点
和
.
所以符合题意.
(ⅲ)若,即
时,
.
令,
,
,
所以在
上是单调增函数,
,
所以在
上是单调增函数,
.
所以,且
,
的图像在
上不间断,
所以存在,使得
.
此时,在
恰有两个不同得零点
和
.
所以符合题意.
综上所述,实数的取值范围是
或
.
(3)依题意,
.
则,令
,
,
,
所以在
上是单调增函数.
要使得在
上存在极值,
则须满足即
所以,
,即
.
由(2)可知,当时,
,
所以,
.
所以,即
,
所以.
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【题目】在①,②
,③
这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.
已知的内角
,
,
的对边分别为
,
,
______________,
,
,求
的面积.
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【题目】改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映,在不到一个月的时间,票房收入就超过了38亿元,创造了中国动画电影的神话.小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》,影院的三个放映厅分别在7:30,8:00,8:30开始放映,小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院,且他们到达影院的时间是随机的,那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】2019年是新中国成立七十周年,新中国成立以来,我国文化事业得到了充分发展,尤其是党的十八大以来,文化事业发展更加迅速,下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算,将 2013 年编号为 1,2014 年编号为 2,…,2018年编号为 6,把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量,把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析),得到回归直线,其相关指数
,给出下列结论,其中正确的个数是( )
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个
③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个
A.0B.1C.2D.3
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【题目】如图所示,在等腰梯形中,
,
,
,点
为
的中点.将
沿
折起,使点
到达
的位置,得到如图所示的四棱锥
,点
为棱
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若平面平面
,求三棱锥
的体积.
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【题目】已知抛物线,
、
、
为抛物线
上不同的三点.
(1)当点的坐标为
时,若直线
过抛物线焦点
且斜率为
,求直线
、
斜率之积;
(2)若为以
为顶点的等腰直角三角形,求
面积的最小值.
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【题目】某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出盒该产品获利润
元,未售出的产品,每盒亏损
元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了
盒该产品,以
(单位:盒,
)表示这个开学季内的市场需求量,
(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.
(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量的众数和平均数;
(2)将表示为
的函数;
(3)根据直方图估计利润不少于
元的概率.
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