Question

【题目】已知抛物线，、、为抛物线上不同的三点.

（1）当点的坐标为时，若直线过抛物线焦点且斜率为，求直线、斜率之积；

（2）若为以为顶点的等腰直角三角形，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设点、，可得出直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，然后利用斜率公式结合韦达定理可计算出直线、斜率之积；

（2）设点、、，设直线的斜率为，不妨设，可得出直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出，同理得出，再由得出，然后利用三角形的面积公式，结合基本不等式求出面积的最小值.

（1）设点、，则，

直线的斜率为，同理，直线的斜率为.

抛物线的焦点为，

直线的斜率为，且过点，则直线的方程为，

将直线的方程与抛物线的方程联立，得，

，由韦达定理得，.

因此，直线、斜率之积为；

（2）设点、、，

设直线的斜率为，不妨设，则直线的方程为，

联立直线与抛物线的方程，消去得，

由韦达定理得，，，同理可得，

，同理可得，

由题中图象可知，与符号相反，

由得，则，

化简得，

故的面积为，当且仅当时，等号成立，

因此，面积的最小值为.