Question

9．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-1），则△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosC+$\frac{\sqrt{2}}{2}$c=b．
（1）当$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$时，求sin²x+sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$）$•\overrightarrow{n}$，求f（A）的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行与坐标的关系列方程解出tanx，利用三角函数恒等变换化简求出；
（2）利用三角函数恒等变换化简得出A，求出f（x）的解析式，代入即可求出f（A）．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，则-sinx-$\frac{3}{4}$cosx=0，即sinx=-$\frac{3}{4}$cosx．
∴tanx=-$\frac{3}{4}$．
∴sin²x+sin2x=$\frac{si{n}^{2}x+2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{ta{n}^{2}x+2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{\frac{9}{16}-\frac{3}{2}}{\frac{9}{16}+1}$=-$\frac{3}{5}$．
（2）f（x）=2（$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$）$•\overrightarrow{n}$=2（$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+|$\overrightarrow{n}$|²）=2（sinxcosx-$\frac{3}{4}$+cos²x+1）=sin2x+cos2x+$\frac{3}{2}$．
由acosC+$\frac{\sqrt{2}}{2}$c=b知a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=b，
即b²+c²-a²=$\sqrt{2}$bc，
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{-bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A∈（0，π），
故A=$\frac{π}{4}$，
所以f（A）=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，属于中档题．