Question

19．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆Γ方程；
（Ⅱ）设直线y=x+m与椭圆Γ交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把已知点的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率和隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立椭圆方程和直线方程，利用根与系数的关系求得AB的中点M的坐标，结合|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|得PM⊥AB，代入斜率公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），∴$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，
又∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，
由△＞0，得m∈（$-\sqrt{5}，\sqrt{5}$）．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8m}{5}$，${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+{x}_{2}+2m=\frac{2m}{5}$，
故AB的中点M（$-\frac{4m}{5}，\frac{m}{5}$）．
∵|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，∴PM⊥AB，则$\frac{\frac{m}{5}-1}{-\frac{4m}{5}}=-1$，得m=-$\frac{5}{3}$∈（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
∴实数m=-$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，训练了向量法在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．