Question

14．已知把函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，再向下平移$\frac{1}{2}$个单位，得到函数g（x），则函数g（x）从原点起与x轴的正半轴，直线x=$\frac{π}{2}$围成的面积为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{π}{2}$
• C． 1
• D． π

Answer 1

分析 先对三角函数进行恒等变换，确定函数f（x）的解析式，进而根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）的解析式，利用定积分可求曲线围成的面积．

解答 解：∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{cos2x+1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，得到函数解析式为：y=sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]+$\frac{1}{2}$=sin2x+$\frac{1}{2}$，
再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数解析式为：y=sinx+$\frac{1}{2}$，
再向下平移$\frac{1}{2}$个单位，得到函数g（x）=sinx．
∴g（x）图象与x轴的正半轴、直线x=π所围成图形的面积为：${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sinxdx=-cosx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=1．
故选：C．

点评 本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调区间，函数图象的变换，利用定积分求曲线的面积，考查了数形结合思想和转化思想，熟练应用相关公式定理是解题的关键，属于中档题．