Question

设二次函数f（x）=x²+ax+b．对任意实数x，都存在y，使得f（y）=f（x）+y，则a的最大值是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先将原式化成f（y）-y=f（x）的形式，因为对任意实数x，都存在y，使得f（y）-y=f（x），则只需f（x）的值域是函数f（y）-y的值域的子集．则问题容易获解．

解答： 解：由已知得f（x）=x²+ax+b，f（y）=y²+ay+b．
则原式可化为对任意实数x，都存在y使得x²+ax=y²+ay-y恒成立，
令g（x）=x²+ax，h（y）=y²+ay-y，
则函数g（x）=x²+ax的值域是函数h（y）=y²+ay-y值域的子集．
g（x）=（x+

a

2

）²-

a2

4

，值域为[-

a2

4

，+∞），
h（y）=y²+（a-1）y=[y+（

a-1

2

）]²-

(a-1)2

4

，值域为[-

(a-1)2

4

，+∞），
从而-

a2

4

≥-

(a-1)2

4

，解得a≤

1

2

，
故a的最大值为

1

2

．
故答案为

1

2

．

点评：本题重在理解题意，先将变量x与y分离后，即将原式化成两个函数值相等，结合题意即将问题转化为两个函数值域的包含关系．