Question

1．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B为正方形，侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（Ⅰ）求证：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）若AB=2，E为BC的中点，求异面直线B₁E与AC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由侧面AA₁B₁B为正方形，可得AB⊥BB₁．再利用线面面面垂直的判定定理即可证明：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）由题意，以B为原点，BA，BB₁所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系如图所示，利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由侧面AA₁B₁B为正方形，知AB⊥BB₁．
又AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，∴AB⊥平面BB₁C₁C，
又AB?平面AA₁B₁B，∴平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）由题意，以B为原点，BA，BB₁所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系如图，CB=CB₁，
设O是BB₁的中点，连接CO，则CO⊥BB₁．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面AA₁B₁B，
且$CO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}BC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AB=\sqrt{3}$．
则$B（{0，0，0}），C（{0，1，\sqrt{3}}），E（{0，\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），{B_1}（{0，2，0}），A（{2，0，0}），{C_1}（{0，3，\sqrt{3}}）$．
得$\overrightarrow{{B_1}E}=（{0，-\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}），\overrightarrow{A{C_1}}=（{-2，3，\sqrt{3}}）$，
∴$cos\left?{\overrightarrow{{B_1}E}，\overrightarrow{A{C_1}}}\right＞=\frac{{\overrightarrow{{B_1}E}•\overrightarrow{A{C_1}}}}{{|{\overrightarrow{{B_1}E}}|•|{\overrightarrow{A{C_1}}}|}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
∴异面直线B₁E与AC₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正方体的性质、异面直线所成角、线面面面垂直的判定定理、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．