Question

（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点在线段上，，试确定的值，使平面；
（Ⅲ）若平面，平面平面，求二面角的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接 ．
因为四边形为菱形，，
所以△为正三角形．又为中点，
所以．
因为,为的中点，
所以．
又，
所以平面．                           ………………4分
（Ⅱ）当时，∥平面．
下面证明：
连接交于，连接．

因为∥，
所以．
因为∥平面，平面，平面平面，
所以∥.
所以．
所以，即．
因为，
所以．
所以，
所以∥.
又平面，平面，
所以∥平面．                                …………9分
（Ⅲ）因为，
又平面平面，交线为，
所以平面．
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直
角坐标系．

由===2，
则有，，．
设平面的法向量为=，
由，
且，，
可得
令得．
所以=为平面的一个法向量．
取平面的法向量=，
则，
故二面角的大小为60°．                   …………14分

本题考查线面垂直和二面角、探索性问题等综合问题。考查学生的空间想象能力。线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.
线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.本题第一问利用方法二进行证明；探求某些点的具体位置，使得线面满足垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.本题第二问主要采用假设存在点，然后确定线面平行的性质进行求解. 本题第三问利用向量法求解二面角.