Question

如图，底面是矩形的四棱锥P—ABCD中AB=2，BC=，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；

（3）求直线AB与平面PCD的距离．

Answer 1

（1）见解析
（2）45°
（3）

本试题主要是考查了立体几何中，面面垂直问题，以及线面角的求解，和线面的距离的相关知识的理解和运用。侧重在判定定理和性质定理的灵活运用上。
（I）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB    又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB      ∴BC⊥侧面PAB   又∵BC侧面PBC    ∴侧面PAB⊥侧面PBC）       4分
（II）解：取AB中点E，连结PE、CE   又∵△PAB是等边三角形   ∴PE⊥AB 
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD     ∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角
    在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求
（Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD     ∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB//侧面PCD
取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB   又∵PE⊥AB    ∴AB⊥平面PEF  又∵AB//CD
∴CD⊥平面PEF  ∴平面PCD⊥平面PEF   作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=为所求.