Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性．
（2）已知f（1）=

3

2

，函数g（x）=a²x+a^-2x-2f（x），x∈[-1，1]，求g（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先利用f（x）为R上的奇函数得f（0）=0求出k以及函数f（x）的表达式，利用a＞1及指数函数的单调性，利用导数法可得到函数f（x）的单调性．
（2）先由f（1）=

3

2

得a=2，得出函数f（x）的单调性，再对g（x）进行整理，整理为用f（x）表示的函数，最后利用函数f（x）的单调性以及值域，得到g（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴k-1=0，
解得：k=1，
∴f（x）=a^x-a^-x
f′（x）=a^xlna+

lna

ax

=lna（a^x+

1

ax

），
∵a＞1，∴lna＞0，而a^x+

1

ax

＞0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在R上单调递增；
（2）∵f（1）=

3

2

，
∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-

1

2

（舍去）．
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[-

3

2

，

3

2

]，
令h（t）=t²-2t+2=（t-1）²+1，（t∈[-

3

2

，

3

2

]），
当t=1时，函数取最小值1，
当t=-

3

2

时，函数取最大值

29

4

，
故g（x）的值域为[1，

29

4

]

点评：题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查解不等式，考查二次函数最值的研究，解题的关键是确定函数的单调性，确定参数的范围．