Question

数列{a_n}是等比数列，a₁=8，设b_n=log₂a_n（n∈N₊），如果数列{b_n}的前7项和S₇是它的前n项和组成的数列{S_n}的最大值，且S₇≠S₈，求{a_n}的公比q的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：由a_n=8q^n-1，得到b_n+1-b_n=log₂q，b₁=log₂8=3，由此证明数列{b_n}是以3为首项，log₂q为公差的等差数列，可得b_n=3+（n-1）log₂q，由已知条件得b₇＞0，b₈＜0，由此能求出数列{a_n}的公比q的取值范围．

解答： 解：∵等比数列{a_n}的公比q＞0，a₁=8，∴数列为正项数列，
∴a_n=8q^n-1，
∴b_n=log₂a_n=3+（n-1）log₂q，
b_n+1=3+nlog₂q，
∴b_n+1-b_n=log₂q，b₁=log₂8=3，
∴数列{b_n}是以3为首项，log₂q为公差的等差数列．
由（1）知b_n=3+（n-1）log₂q，
∵数列{b_n}的前n项和中S₇最大，且S₇≠S₈，
∴b₇＞0，b₈＜0，
由b₇＞0，得：3+（7-1）log₂q＞0，
整理，得2log₂q＞-1，log₂q＞-

1

2

，解得q＞

2

2

，
由b₈＜0，得3+（8-1）log₂q＜0，
整理，得log₂q＜-

3

7

，q＜(

1

2

)

3

7

．
综上，得

2

2

＜q＜(

1

2

)

3

7

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查等比数列的公比的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．