Question

已知函数f(x)=

1

2

xlnx2，g(x)=-x2+|a|x-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），f(x)≥

1

2

g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．
（2）2xlnx≥-x²+|a|x-3，则|a|≤2lnx+x+

3

x

，设h（x）=2lnx+x+

3

x

，则h′（x）=

2

x

-

3

x2

+1=

(x+3)(x-1)

x2

，由此利用导数性质能求出a的范围．

解答： 解：（1）当x在区间[t，t+2]，t＞0时，
f（x）=

1

2

xlnx2=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，当x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（

1

e

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
∵t+2＞

1

e

，
∴①0＜t＜

1

e

＜t+2时，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
②

1

e

≤t＜t+2时，f（x）在区间[t，t+2]，（t＞0）时是递增的，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt．
∴f（x）_min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．
（2）2xlnx≥-x²+|a|x-3，
则|a|≤2lnx+x+

3

x

，
设h（x）=2lnx+x+

3

x

，
则h′（x）=

2

x

-

3

x2

+1=

(x+3)(x-1)

x2

，
x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴所求a的范围是-4≤a≤4．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．