Question

某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起每年所需的费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．
（1）这艘船用了n年，各种费用共支出了多少万元？
（2）这n年的总盈利为多少万元？
（3）n为多少时，总盈利最大？最大是多少？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据年初用98万元购进一艘渔船，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，可得这艘船用了n年，各种费用的支出和；
（2）该船每年捕捞的总收入为50万元．可得该船投入捕捞n年后的赢利总额为50n-（2n²+10n+98），进而可建立不等式，从而可求该船投入捕捞后第几年开始赢利；
（3）对f（n）=50n-（2n²+10n+98）化简，再进行配方，即可求得结论．

解答： 解：（1）∵年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起每年所需的费用比上一年增加4万元，
∴这艘船用了n年，各种费用共支出了98+12n+

n(n-1)

2

×4=2n²+10n+98万元
（2）设该船投入捕捞后第n年开始赢利，
∵年该船每年捕捞的总收入为50万元．
∴要使该船投入捕捞后第n年开始赢利，则50n-（2n²+10n+98）＞0
化简得n²-20n+49＜0
解得10-

51

＜n＜10+

51

所以，第3年开始赢利；
（3）设该船投入捕捞n年后的赢利总额为f（n），则f（n）=50n-（2n²+10n+98）=-2n²+40n-98=-2（n-10）²+102
∴投入捕捞10年后赢利总额达到最大．

点评：本题考查的重点是函数模型的构建，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，利用配方法求二次函数的最值．