Question

19．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，椭圆C的上、下顶点分别为A₁，A₂，左、右顶点分别为B₁，B₂，左、右焦点分别为F₁，F₂．原点到直线A₂B₂的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂，分别交x轴于点N，M，若直线OT与以MN为直径的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）设a=2m，c=$\sqrt{3}$m，则b=m．直线A₂B₂方程为mx-2my-2m²=0．由点到直线距离公式能求出m=1．由此能求出椭圆方程．
（2）由A₁（0，1）A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），分别求出直线PA₁和直线PA₂，法一：设圆G的圆心为（$\frac{1}{2}$（$\frac{x0}{y0+1}$-$\frac{x0}{y0-1}$），0），利用圆的性质能证明线段OT的长度为定值2；法二：由切割线定理得OT²=OM•ON=4．从而得到线段OT的长度为定值2．

解答 解：（1）因为椭圆C的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故设a=2m，c=$\sqrt{3}$m，则b=m．
直线A₂B₂方程为 bx-ay-ab=0，即mx-2my-2m²=0．
所以$\frac{2{m}^{2}}{\sqrt{{m}^{2}+4{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解得m=1．
所以a=2，b=1，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．…（5分）
证明：（2）由（1）可知A₁（0，1）A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），
直线PA₁：y-1=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x，令y=0，得x_N=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，…（6分）
直线PA₂：y+1=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$x，令y=0，得x_M=$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，…（7分）
解法一：设圆G的圆心为（$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$），0），…（9分）
则r²=[$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$）-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$]²=$\frac{1}{4}$（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$）²．…（11分）
OG²=$\frac{1}{4}$（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$）²．
OT²=OG²-r²=$\frac{1}{4}$（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$）²-$\frac{1}{4}$（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$）²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{1-{{y}_{0}}^{2}}$．…（13分）
而$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，所以x₀²=4（1-y₀²），所以OT²=4，…（15分）
所以OT=2，即线段OT的长度为定值2．…（16分）
解法二：OM•ON=|（-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$）•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$|=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{1-{{y}_{0}}^{2}}$，
而$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，所以x₀²=4（1-y₀²），所以OM•ON=4．
由切割线定理得OT²=OM•ON=4．
所以OT=2，即线段OT的长度为定值2．…（16分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、圆、点到直线距离公式、切割线定理等知识点的合理运用．