Question

14．已知直线y=1-x与椭圆ax²+by²=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则$\frac{a}{b}$的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{27}$

Answer 1

分析 把y=1-x代入椭圆ax²+by²=1，得（a+b）x²-2bx+b-1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出结果．

解答 解：把y=1-x代入椭圆ax²+by²=1，得ax²+b（1-x）²=1，
整理得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=$\frac{2b}{a+b}$，y1+y2=2-$\frac{2b}{a+b}$，
∴线段AB的中点坐标为（$\frac{b}{a+b}$，$\frac{a}{a+b}$），
∴过原点与线段AB中点的直线的斜率k=$\frac{\frac{a}{a+b}}{\frac{b}{a+b}}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查两数比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、椭圆性质的合理运用．