Question

如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在

平面垂直于底面ABCD.

(1)求证：AD⊥PB.

(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．

Answer 1

解析：(1)方法一，如图，取AD中点G，连接PG，BG，BD.

∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.

在△ABD中，∠A＝60°，AD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD，

∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.

方法二，如图，取AD中点G

∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD

又易知△ABD为正三角形

∴AD⊥BG.

又BG，PG为平面PBG内的两条相交直线，

∴AD⊥平面PBG.

∴AD⊥PB.

(2)连接CG与DE相交于H点，

在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，

∴FH⊥平面ABCD，

∴平面DHF⊥平面ABCD，

∵H是CG的中点，∴F是PC的中点，

∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.