Question

【题目】已知过定点且与直线垂直的直线与轴、轴分别交于点，点满足.

（1）若以原点为圆心的圆与有唯一公共点，求圆的轨迹方程；

（2）求能覆盖的最小圆的面积；

（3）在（1）的条件下，点在直线上，圆上总存在两个不同的点使得为坐标原点），求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1），得在直线上，求出 ，确定圆的半径则方程可求

（2）由几何关系得能覆盖三角形ABC的最小圆是以AB为直径的圆，计算，则圆的面积可求

（3）由，则有OP与MN互相垂直平分，得利用点在直线上得的不等式求解

（1）因为，所以在线段的垂直平分线上，即在直线上，

故

以原点为圆心的圆与有唯一公共点，

此时圆的半径

故：圆的方程为

（2）由于三角形ABC为钝角三角形且AB为最长边，故能覆盖三角形ABC的最小圆是以AB为直径的圆

由于点，所以

故该圆的半径为

所以能覆盖该三角形的最小圆面积

（3）（O为坐标原点），则有OP与MN互相垂直平分，

所以圆心到直线MN的距离小于1.即又

又，代入（1）得

所以实数的取值范围为