Question

【题目】已知抛物线，过定点作不垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点.

（1）设O为坐标原点，求证：为定值；

（2）设线段的垂直分线与x轴交于点，求n的取值范围；

（3）设点A关于x轴的对称点为D，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）定点为。

【解析】

（1）设直线的方程为，直线方程与抛物线方程联立消元得的二次方程，判别式，设，由韦达定理得，计算并代入即得；

（2）写出线段的垂直平分线方程，令求出，利用可得的范围．

（3）求出点坐标，求出直线方程，把分别用代入并化简，然后再代入(1)中的，整理后可知直线过定点．

（1）设过点的直线的方程为，由得，

设，则，

∴为定值；

（2）由（1）知的中点坐标为，则的中垂线方程为：

，令得，

又，即，∴。

（3）点A关于x轴的对称点为，则直线方程为：，

整理得，

而，

∴直线方程为，

∴直线过定点，定点为。