【题目】已知函数,直线:.
(Ⅰ)设是图象上一点,为原点,直线的斜率,若 在 上存在极值,求的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数,使得直线是曲线的切线?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)试确定曲线与直线的交点个数,并说明理由.
【答案】,(Ⅲ)见解析
【解析】
(Ⅰ)先根据斜率公式列再求导数及其零点,最后根据条件列不等式,解得结果,(Ⅱ)设切点,根据导数几何意义得斜率,再根据点斜式得切线方程,最后根据切线过(0,-1)点列方程,解得切点坐标,即得的值;(Ⅲ)先变量分离,转化为研究函数图象,利用导数研究其单调性,再结合函数图象确定交点个数.
(Ⅰ)∵,∴,解得.
由题意得: ,解得.
(Ⅱ)假设存在实数,使得直线是曲线的切线,令切点,
∴切线的斜率.
∴切线的方程为,
又∵切线过(0,-1)点,
∴.
解得,∴,
∴.
(Ⅲ)由题意,令, 得 .
令, ∴,由,解得.
∴在(0,1)上单调递增,在上单调递减,
∴,又时,;时,,
时,只有一个交点;时,有两个交点;
时,没有交点.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ.
(1)求直线l与曲线C的直角坐标方程;
(2)设点M(0,1),直线l与曲线C交于不同的两点P,Q,求|MP|+|MQ|的值.
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【题目】已知双曲线C:,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形,则|MN|=
A. B. 3 C. D. 4
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【题目】下列说法中,正确的序号是( )
①“b=2”是“1,b,4成等比数列”的充要条件;
②“双曲线与椭圆有共同焦点”是真命题;
③若命题p∨¬q为假命题,则q为真命题;
④命题p:x∈R,x2﹣x+1>0的否定是:x∈R,使得x2﹣x+1≤0.
A.①②B.②③④C.②③D.②④
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【题目】如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,四边形ABCD为等腰梯形,BC∥AD,BC=CDAD=1,E为PA的中点.
(1)求证:EB∥平面PCD;
(2)求平面PAC与平面PCD所成角的余弦值.
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【题目】微信运动,是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数,同时也可以和其他用户进行运动量的或点赞.加入微信运动后,为了让自己的步数能领先于朋友,人们运动的积极性明显增强,下面是某人2018年1月至2018年11月期间每月跑步的平均里程(单位:十公里)的数据,绘制了下面的折线图.
根据折线图,下列结论正确的是( )
A. 月跑步平均里程的中位数为月份对应的里程数
B. 月跑步平均里程逐月增加
C. 月跑步平均里程高峰期大致在、月
D. 月至月的月跑步平均里程相对于月至月,波动性更小,变化比较平稳
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【题目】已知抛物线,过定点作不垂直于x轴的直线,交抛物线于A,B两点.
(1)设O为坐标原点,求证:为定值;
(2)设线段的垂直分线与x轴交于点,求n的取值范围;
(3)设点A关于x轴的对称点为D,求证:直线过定点,并求出定点的坐标.
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