Question

己知各项均为正数的数列{a_n}满足：a₁=3，且a_na_n+1²-2（a_n²-1）a_n+1-a_n=0，n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-

1

an

，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，T_n=

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

，求S_n+T_n，并确定最小正整数n，使S_n+T_n为整数．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意知，b_n+1=a_n+1-

1

an+1

=

an+12-1

an+1

=

2(an2-1)

an

=2(an-

1

an

)=2b_n，由此求出bn=

2n+2

3

．
（2）由（1）有Sn+Tn=(a1-

1

a1

)2+(a2-

1

a2

)2+…+(an-

1

an

)2+2n=

64

27

(4n-1)+2n，n∈N^*，为使S_n+T_n=

64

27

(4n-1)2+2n，n∈N^*，当且仅当

4n-1

27

为整数．由此能求出n的最小值为9．

解答： 解：（1）由题意知，
b_n+1=a_n+1-

1

an+1

=

an+12-1

an+1

=

2(an2-1)

an

=2(an-

1

an

)=2b_n，
b1=a1-

1

a1

=

8

3

，
∴数列{b_n}是公比为2，首项为

8

3

的等比数列，其通项公式为bn=

2n+2

3

．
（2）由（1）有Sn+Tn=(a1-

1

a1

)2+(a2-

1

a2

)2+…+(an-

1

an

)2+2n
=（

23

3

）²+（

24

3

）²+…（

2n+2

3

）²+2n
=

64

27

(4n-1)+2n，n∈N^*，
为使S_n+T_n=

64

27

(4n-1)2+2n，n∈N^*，当且仅当

4n-1

27

为整数．
当n=1，2时，S_n+T_n不为整数，
当n≥3时，4ⁿ-1=（1+3）ⁿ-1=

C

1 n

×3+

C

2 n

×32+33(

C

3 n

+…+3n-3

C

n n

)，
∴只需

3 C 1 n +32 C 2 n

27

=

n

9

•

3n-1

2

为整数，
∵3n-1与3互质，∴为9的整数倍，
当n=9时，

n

9

•

3n-1

2

=13为整数，
故n的最小值为9．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用．