Question

如图所示，直角梯形PBCD，PD∥BC，∠D=90°，PD=9，BC=3，CD=4，点A在PD上，且PA=2AD，将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC．

（Ⅰ）求证：SA⊥AD；
（Ⅱ）点E在SD上，且

SE

=

1

3

SD

，求二面角S-AC-E的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出四边形ABCD为矩形，AB⊥BC，由SB⊥BC，得BC⊥平面SAB，由此能证明SA⊥AD．
（Ⅱ）由题意以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角D-BE-C的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵PD=9，PA=2AD，∴PA=6，AD=3，
又∵BC=3，AD∥BC，∠D=90°，
∴四边形ABCD为矩形，AB⊥BC，…（2分）
又∵SB⊥BC，AB∩SB=B，故BC⊥平面SAB，…（4分）
从而BC⊥SA，又因为BC∥AD，所以SA⊥AD．…（6分）
（Ⅱ）解：由题意和（ I）知SA⊥AB，SA⊥AD，AB⊥AD，
∴以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，3，0），S（0，0，6），
从而

AS

=(0，0，6)，

AC

=(4，3，0)，

SD

=(0，3，-6)
由

SE

=

1

3

SD

，
知

AE

=

AS

+

SE

=

AS

+

1

3

SD

=(0，0，6)+

1

3

×(0，3，-6)=(0，1，4)．…（8分）
设平面AEC的法向量为

m

=(x1，y1，z1)，
则

m • AC =0 m • AE =0

，即

4x1+3y1=0 y1+4z1=0

，
令z₁=1，则x₁=3，y₁=-4，可取

m

=(3，-4，1)，
设平面SAC的法向量为

n

=(x2，y2，z2)，
则

n • AC =0 n • AS =0

，即

4x2+3y2=0 6z2=0

，
令x₂=3，则y₂=-4，z₂=0，可取

n

=(3，-4，0)，…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

25

5 26

=

5 26

26

，
故二面角D-BE-C的余弦值为

5 26

26

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．