Question

16．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　）

• A． b=7，c=3，C=30°
• B． a=20，b=30，C=30°
• C． b=4，c=2$\sqrt{3}$，C=60°
• D． b=5，c=4，C=45°

Answer 1

分析 对于A，由正弦定理可得：sinB＞1，可得三角形无解；
对于B，由余弦定理可得c为定值，三角形有一解；
对于C，由正弦定理可得：sinB=1，可求B=90°，A=30°，三角形有一解；
对于D，由正弦定理可得：sinB=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，结合B的范围，可求B有2解，本选项符合题意；

解答 解：对于A，∵b=7，c=3，C=30°，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinC}{c}$=$\frac{7×\frac{1}{2}}{3}$=$\frac{7}{6}$＞1，无解；
对于B，∵a=20，b=30，C=30°，
∴由余弦定理可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{400+900-2×20×30×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{1300-600\sqrt{3}}$，有一解；
对于C，∵b=4，c=2$\sqrt{3}$，C=60°，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinC}{c}$=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}$=1，B=90°，A=30°，有一解；
对于D，∵b=5，c=4，C=45°，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinC}{c}$=$\frac{5×\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
又B为三角形的内角，
∴B∈（45°，180°），可得B有2解，本选项符合题意；
故选：D．

点评 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．