Question

7．已知函数$f（x）=cosx（{\sqrt{3}sinx+cosx}）$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若$f（{\frac{θ}{2}}）=\frac{3}{4}$，θ∈R，求$f（{θ+\frac{π}{3}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大值
（2）利用$f（{\frac{θ}{2}}）=\frac{3}{4}$，建立关系，构造思想，求$f（{θ+\frac{π}{3}}）$的值即可．

解答 解：（1）函数$f（x）=cosx（{\sqrt{3}sinx+cosx}）$，x∈R．
化简可得：$f（x）=cosx（{\sqrt{3}sinx+cosx}）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}$=$sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，
∴当$x=kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$时，$f{（x）_{max}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；
（2）由（1）可得f（x）=$sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，
∵$f（{\frac{θ}{2}}）=\frac{3}{4}$，
∴$sin（{θ+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$，即$sin（{θ+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{4}$，
∴$f（{θ+\frac{π}{3}}）=sin（{2θ+\frac{5π}{6}}）+0.5=sin[{（{2θ+\frac{π}{3}}）+\frac{π}{2}}]+0.5=1.5-2{sin^2}（{θ+\frac{π}{6}}）$=$1.5-2×{（{\frac{1}{4}}）^2}=\frac{11}{8}$

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．