Question

8．．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁B₁．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于O点，连接OP，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）由线面垂直的判定定理，证得AC⊥面BDD₁B₁，再由面面垂直的判定定理即可得证．

解答 证明：（1）连接BD交AC于O点，连接OP，
因为O为矩形对角线的交点，O为BD的中点，P为DD₁的中点，
则OP∥BD₁，又因为OP?面APC，BD₁?面APC
所以直线BD₁∥平面PAC；
（2）因为AB=AD=1，所以矩形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
由长方体可知，DD₁⊥AC，而BD∩DD₁=D，
所以AC⊥面BDD₁B₁，且AC?面PAC，
则平面PAC⊥平面BDD₁B₁．

点评 本题考查线面平行和面面垂直的判定，注意运用线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，考查转化思想，推理能力和空间想象能力，属于中档题．