Question

12．函数f（x）=$\frac{1}{1-x}+tan（\frac{π}{2}x）$落在区间（-3，5）的所有零点之和为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由题意别作出函数y=$\frac{1}{x-1}$与y=$tan（\frac{π}{2}x）$的图象，由图得交点的个数和函数图象的对称性，并利用对称性求出函数f（x）的所有零点之和．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{1-x}+tan（\frac{π}{2}x）$=0得，
分别作出函数y=$\frac{1}{x-1}$与y=$tan（\frac{π}{2}x）$的图象如图：
则函数y=$\frac{1}{x-1}$与y=$tan（\frac{π}{2}x）$的图象关于（1，0）点成中心对称，
由图象可知两个函数在区间（-3，5）上共有4个交点，它们关于（1，0）点成中心对称，
不妨设关于点（1，0）对称的两个点A、B的横坐标是a、b，
则$\frac{a+b}{2}$=1，即a+b=2，
所以所有交点横坐标之和为2（a+b）=4，即所有零点之和为4，
故选：C．

点评 本题考查了函数的零点与函数图象交点的转化，掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键．