Question

4．若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的渐近线方程为$y±\frac{1}{2}x$，离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，不妨设a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．则双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的渐近线方程为y=$±\frac{b}{a}$x，离心率=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，不妨设a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
则双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的渐近线方程为y=$±\frac{1}{2}$x，离心率e=$\frac{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案分别为：$y±\frac{1}{2}x$；$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．