Question

19．已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，若对任意的x都有f（x）+f（-x）=0，当x＞0时，f（x）=log₂x，则不等式f（x）＞1的解集为（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （$-\frac{1}{2}$，0）∪（2，+∞）
• D． （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 首先令x＜0，则-x＞0，根据函数f（x）为奇函数，求出f（x）的解析式；又f（0）=0，故f（x）在R上的解析式即可求出，然后分x＞0和x＜0两种情况分别求出不等式f（x）＞1的解集，最后求其并集即可．

解答 解：∵f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
当x＜0时，-x＞0时，f（-x）=log₂（-x）=-f（x），
即f（x）=-log₂（-x），
当x=0时，f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{lo{g}_{2}x}{0}}&{\stackrel{x＞0}{x=0}}\\{-lo{g}_{2}（-x）}&{x＜0}\end{array}\right.$；
①当x＞0时，由log₂x＞1，解得x＞2，
②当x＜0时，由-log₂（-x）＞1，解得x＞-$\frac{1}{2}$，
综上，得x＞2或x＞-$\frac{1}{2}$，
故不等式f（x）＞1的解集为：（$-\frac{1}{2}$，0）∪（2，+∞）．
故选：C．

点评 本题主要考查了函数奇偶性质的运用，考查了分段函数解析式的求法，以及转化思想和分类讨论思想的运用，属于中档题．