Question

7．设函数f（x）=$\sqrt{x-a}$（a∈R），若曲线y=sinx上存在（x₀，y₀），使得f（f（y₀））=y₀则a的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{1}{4}$，1]
• B． [0，$\frac{1}{4}$]
• C． [$\frac{1}{4}$，1）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得存在y₀∈[0，1]，使f（y₀）=y₀成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即x-x²=a，x∈[0，1]．利用二次函数的单调性求函数的值域，可得a的范围．

解答 解：由题意可得 y₀=sinx₀∈[-1，1]，f（y₀）=$\sqrt{{y}_{0}-a}$，
∵曲线y=sinx上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，
∴存在y₀∈[0，1]，使f（y₀）=y₀成立，
即f（x）=x在[0，1]上有解，即 x-x²=a 在[0，1]上有解．
令g（x）=x-x²，则a为g（x）在[0，1]上的值域．
由g（x）=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，x∈[0，1]，
∴g（x）∈$[0，\frac{1}{4}]$，即a∈$[0，\frac{1}{4}]$．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．