Question

13．F为抛物线C：y²=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足$\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EA}$．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）求出F，E的坐标，设l方程为x-my-1=0，联立方程组消元，根据根与系数的关系求出AB中点坐标，由向量加法的几何意义可知AB的中点也是EP的中点，利用中点坐标公式得出P的轨迹关于m的参数方程，转化为普通方程即可；
（II）利用弦长公式和点到直线的距离公式计算|AB|，E到l的距离d，得出S关于m的函数，求出S取得最小值时的m，代入x-my-1=0得出l的方程．

解答 解：（I）抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），∴E（-1，0）．
设直线l的方程为x-my-1=0．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-my-1=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：y²-4my-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），则y₁+y₂=4m，x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=4m²+2．
∴AB的中点坐标为M（2m²+1，2m）．
∵$\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EA}$=2$\overrightarrow{EM}$，∴M为EP的中点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-1}{2}=2{m}^{2}+1}\\{\frac{y}{2}=2m}\end{array}\right.$，∴$\frac{x-1}{2}=2（\frac{y}{4}）^{2}+1$，即y²=4x-12．
∴点P的轨迹方程为y²=4x-12．
（II）由（I）得y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
∴|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4（m²+1）．
E到直线l：x-my-1=0的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$•|AB|•d=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
∵$\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EA}$，∴四边形EAPB是平行四边形，
∴平行四边形EAPB的面积S=2S_△ABE=8$\sqrt{{m}^{2}+1}$．
∴当m=0时，S取得最小值8．
此时直线l的方程为x-1=0．

点评 本题考查了抛物线的性质，轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．