Question

9．设数列{a_n}是公比小于1的正项等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₂=12，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n•（n-λ），且数列{b_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，列出方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{+a}_{1}q=12}\\{2{（a}_{1}q+1）{=a}_{1}{{+a}_{1}q}^{2}}\end{array}\right.$，求出a₁和q的值，写出通项公式a_n即可；
（2）由（1）写出通项公式b_n，根据数列{b_n}是单调减数列，b_n＜b_n-1，列不等式解不等式即可．

解答 解：（1）设正项等比数列{a_n}的公比为q，由题意得0＜q＜1，
∵S₂=12，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{+a}_{1}q=12}\\{2{（a}_{1}q+1）{=a}_{1}{{+a}_{1}q}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a₁=8，q=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=8•${（\frac{1}{2}）}^{n-1}$=${（\frac{1}{2}）}^{n-4}$；
（2）由（1）知，b_n=a_n•（n-λ）=${（\frac{1}{2}）}^{n-4}$•（n-λ），
且数列{b_n}是单调递减数列，
∴b_n＜b_n-1，
∴b_n-b_n-1=（n-λ）•${（\frac{1}{2}）}^{n-4}$-（n-1-λ）•${（\frac{1}{2}）}^{n-5}$=${（\frac{1}{2}）}^{n-4}$•（2+λ-n）＜0，（n≥2）；
∵上式对任意正整数n都成立，
∴实数λ的取值范围是λ＜0．

点评 本题考查了等差与等比数列的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．