Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁，F₂，A（-

3

，

1

2

）为椭圆上一点，且AF₁⊥x轴．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知命题：“已知M是椭圆C上异于左右顶点A₁，A₂的一点，直线MA₁，MA₂分别交直线l：x=m（m为常数）于不同两点P，Q，点N在直线l上，若直线MN与椭圆C有且只有一个公共点M，则N为线段PQ的中点”，试写出此命题的逆命题，判断所写命题的真假，若为真命题，请你给出证明；若为假命题，请说明理由；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）研究的结果，类似地，请你写出双曲线中的一个命题（不需证明）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据A（-

3

，

1

2

）为椭圆上一点，且AF₁⊥x轴，利用椭圆的定义，求出a，c，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）逆命题为真命题．设M（x₀，y₀）（x₀≠±2），求出MA₁，MA₂的方程，可得P，Q的坐标，进而可得N的坐标，求出MN的方程，代入椭圆方程，即可得出结论；
（Ⅲ）利用（Ⅱ），可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（-

3

，

1

2

）为椭圆上一点，且AF₁⊥x轴，
∴|AF₁|=

1

2

，|F₁F₂|=2

3

，
∴|AF₂|=

7

2

，
∴2a=4，2c=2

3

，
∴a=2，c=

3

，
∴b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）逆命题：“已知M是椭圆C上异于A₁，A₂的一点，直线MA₁，MA₂分别交直线l：x=m（m为常数）于不同两点P，Q，点N在直线l上．若N为线段PQ的中点，则直线MN与椭圆C有且只有一个公共点M”，为真命题．
证明如下：设M（x₀，y₀）（x₀≠±2），则，
l_MA1：y=

y0

x0+2

（x+2）；l_MA2：y=

y0

x0-2

（x-2），
∴P（m，

y0(m+2)

x0+2

），Q（m，

y0(m-2)

x0-2

），
设PQ的中点为N（x₁，y₁），则x₁=m，y₁=

y0(x0m-4)

x02-4

=

4-mx0

4y0

，
∴N（m，

4-mx0

4y0

），
∴k_MN=-

x0

4y0

，
∴MN的方程为y=-

x0

4y0

（x-x₀）+y₀，即y=-

x0

4y0

x+

1

y0

代入椭圆方程，消去y可得x²-2x₀x+x₀²=0，
∴x=x₀，
∴直线MN与椭圆C有且只有一个公共点M；
（Ⅲ）已知M是双曲线C上异于A₁，A₂的一点，直线MA₁，MA₂分别交直线l：x=m（m为常数）于不同两点P，Q，点N在直线l上．若N为线段PQ的中点，则直线MN与椭圆C有且只有一个公共点M．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．