Question

己知A（-1，0），B（1，0），△ABC为边长为2的等边三角形，过C点的曲线E上任意一点P均使|PA|+|PB|为同一常数k．
（1）求曲线E的方程；
（2）设斜率为

1

2

的直线L与曲线E交于M，N两点，与y轴交于Q点，且满足QM=aQA，（a＜0），求a的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出曲线E是以A（-1，0），B（1，0）为焦点，以4为长轴的椭圆，由此能求出曲线E的方程．
（2）设直线L的方程为y=

1

2

x+m，联立

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

，得4x²+4mx+4m²-12=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），在y=

1

2

x+m中，令x=0，得Q（0，m），由

QM

=a

QA

，得M（-a，m-ma），由此能求出a．

解答： 解：（1）∵A（-1，0），B（1，0），△ABC为边长为2的等边三角形，
过C点的曲线E上任意一点P均使|PA|+|PB|为同一常数k，
∴曲线E是以A（-1，0），B（1，0）为焦点，以4为长轴的椭圆，
∴曲线E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设直线L的方程为y=

1

2

x+m，
联立

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

，得4x²+4mx+4m²-12=0，
△=16m²-64m²+192＞0，-2＜m＜2，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-m，x1x2=m2-3，
在y=

1

2

x+m中，令x=0，得Q（0，m），
∵

QM

=a

QA

，∴（x₁，y₁-m）=a（-1，-m）=（-a，-am），
∴

x1=-a y1=m-am

，∴M（-a，m-ma），
∴m-ma=-

1

2

a+m，解得m=

1

2

，
∴M（-a，

1

2

-

1

2

a），
∴

a2

4

+

( 1 2 - 1 2 a)2

3

=1，
解得a=

1-3 5

4

或a=

1+3 5

4

（舍），
∴a=

1-3 5

4

．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．