Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右准线l₂与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
（1）求证：PF⊥l；
（2）若|PF|=3，且双曲线的离心率e=

5

4

，求该双曲线方程；
（3）延长FP交双曲线左准线l₁和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）右准线l₂为x=

a2

c

，设渐近线l为y=

b

a

x，则kPF=

ab c -0

a2 c -c

=-

a

b

，kl=

b

a

，由此能证明PF⊥l．
（2）由已知得

|bc|

a2+b2

=3，从而b=3，又e=

c

a

=

5

4

，由此能求出双曲线方程．
（3）PF为：y=-

a

b

（x-c），由

y=- a b (x-c) x=- a2 c

，得M(-

a2

c

，

a(a2+c2)

bc

)，N(-

3a2

c

，

a(3a2+c2)

bc

)，由N在双曲线上，能求出双曲线的离心率．

解答： （1）证明：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右准线l₂为x=

a2

c

，
由对称性不妨设渐近线l为y=

b

a

x，
则P（

a2

c

，

ab

c

），又F（c，0），
∴kPF=

ab c -0

a2 c -c

=-

a

b

，（2分）
又∵kl=

b

a

，∴k_PF•k_l=-

a

b

•

b

a

=-1，
∴PF⊥l．（4分）
（2）解：∵|PF|的长即F（c，0）到l：bx-ay=0的距离，
∴

|bc|

a2+b2

=3，即b=3，（6分）
又e=

c

a

=

5

4

，
∴

a2+b2

a2

=

25

16

，∴a=4，
故双曲线方程为

x2

16

-

y2

9

=1．（8分）
（3）解：PF的方程为：y=-

a

b

（x-c），
由

y=- a b (x-c) x=- a2 c

，得M(-

a2

c

，

a(a2+c2)

bc

)，（9分）
∵M是PN的中点
∴N(-

3a2

c

，

a(3a2+c2)

bc

)，（10分）
∵N在双曲线上，
∴

9a2

c2

-

a2

c2

(

3a2+c2

b2

)2=1，
即

9

e2

-

1

e2

(

e2+3

e2-1

)2=1，
令t=e²，则t²-10t+25=0，∴t=5，即e=

5

．（12分）

点评：本题考查直线垂直的证明，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．